相関係数の検定と信頼区間

R で相関係数の検定と推定は cor.test() でできるが、個々のデータが必要だ。

個々のデータを使わなくても、検定や推定はできないだろうか？

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相関係数の検定
相関係数の信頼区間
- 相関係数の信頼区間を計算する際のFisherの分散安定化変換
相関係数の差の検定
まとめ
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引用書籍

相関係数の検定

母相関係数 $\rho$ がゼロかどうかの検定。

スクリプトは以下の通り。

r がサンプルの相関係数で、n がサンプルサイズ。

pop.rho.test <- function(r,n){
 T <- r/(sqrt(1-r^2)/sqrt(n-2))
 p <- pt(abs(T), df=n-2,lower.tail=F)*2
 list(c(t=T, df=n-2, "p-value"=p))
}

r = -0.533, n = 53 のときの検定結果は、以下の通り計算される。

> pop.rho.test(r=-0.533,n=35)
[[1]]
            t            df       p-value 
-3.6187173384 33.0000000000  0.0009787127

p = 0.0009787127 で統計学的有意に母相関係数は 0 と異なると言える。

相関係数の信頼区間

母相関係数 $\rho$ の95%信頼区間を計算するスクリプトは以下の通り。

pop.rho.ci <- function(r,n){
 Z <- 1/2*log((1+r)/(1-r))
 Zl <- Z-1/sqrt(n-3)*qnorm(1-0.05/2)
 Zu <- Z+1/sqrt(n-3)*qnorm(1-0.05/2)
 rl <- (exp(2*Zl)-1)/(exp(2*Zl)+1)
 ru <- (exp(2*Zu)-1)/(exp(2*Zu)+1)
 list(c(Estimate=r, LL=rl, UL=ru))
}

上述の相関係数の信頼区間は以下のように計算される。

> pop.rho.ci(r=-0.533,n=35)
[[1]]
  Estimate         LL         UL 
-0.5330000 -0.7355906 -0.2428969

下限が -0.7355906, 上限が -0.2428969 であった。

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相関係数の信頼区間を計算する際のFisherの分散安定化変換

上述のスクリプト中の $Z$ の式は、Fisherの分散安定化変換と呼ばれるものである。

これは hyperbolic tangent の逆関数の hyperbolic arc-tangent で、R では atanh() で計算できる。

> r <- -0.533
> 
> 1/2*log((1+r)/(1-r))
[1] -0.5943263
> 
> atanh(r)
[1] -0.5943263

相関係数の差の検定

二つの母相関係数 $\rho_A$ と $\rho_B$ の差の検定のスクリプトは以下の通り。

pop.rho.diff <- function(rA,nA,rB,nB){
 T <- abs((atanh(rA)-atanh(rB)))/sqrt(1/(nA-3)+1/(nB-3))
 p <- 2*(1-pnorm(T))
 list(c(rA=rA,nA=nA,rB=rB,nB=nB,T=T,"p-value"=p))
}

男性 -0.459 と女性 -0.097 の相関係数の差を検定した結果は以下の通り。

> pop.rho.diff(rA=-0.459,nA=30,rB=-0.097,nB=24)
[[1]]
        rA         nA         rB         nB          T    p-value 
-0.4590000 30.0000000 -0.0970000 24.0000000  1.3704342  0.1705514