標準正規分布のパーセンタイルとクォンタイル

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平均70点、標準偏差15点のテストの場合、 90点以上の学生は上位何パーセントに当たるか?

という問題に使う パーセンタイル percentile とクォンタイル quantile。

それぞれ百分位数と分位数ともいわれる。

パーセンタイルとクォンタイルの統計ソフトRでの 計算の仕方をご紹介。

パーセンタイルを求めるには?

pnorm()を使う。

母平均、母分散、クォンタイルが必要になる。

母平均が2、母分散が1.2、クォンタイル4.15のとき、 パーセンタイルは0.9751579と計算される。

> pnorm(q=4.15, mean=2, sd=sqrt(1.2))
[1] 0.9751579

平均70点、標準偏差が15点、クォンタイルが90点の学生は、 91パーセンタイルにいる。

つまり、90点以上の学生は100ー91=9%いる。

> pnorm(q=90, mean=70, sd=15)
[1] 0.9087888

クォンタイルを求めるには?

qnorm()を使う。

パーセンタイルからクォンタイルを計算する。

母平均が2、母分散が1.2、97.5パーセンタイルのとき、 クォンタイルは4.147033と計算される。

> qnorm(p=0.975, mean=2, sd=sqrt(1.2))
[1] 4.147033

平均70点、標準偏差15点のテストで、 上位20%に入る学生は何点以上か?

正解は、83点。

> qnorm(p=1-0.2, mean=70, sd=15)
[1] 82.62432

まとめ

標準正規分布を使った問題で、 何点以上が何パーセントとか、 何パーセントに位置するのは何点以上か、 という問題は、 パーセンタイルとクォンタイルの概念を使う。

統計ソフトRであれば、 pnorm(), qnorm()という関数で、 簡単に計算できる。