正規分布表って、どうやって見たらいいんだろうと、悩んでいるあなた。
そもそも何を意味しているのか、どんなときに使うのかさっぱりわからない、というあなた。
そんなあなたを助ける、正規分布表の見方。
よくある課題での使い方も公開。
正規分布表はどう見ればいいの？
正規分布はどんな分布？
正規分布表に書いてある数字はいったい何なのか?
これは割合を表している。正確には確率だが、同じと思ってよい。
標準正規分布は横軸0を中心に左右対称でベル型の曲線。
横軸0から、例えば1までと、曲線でかこまれた、台形みたいな形の面積が割合。
横軸とベル型曲線で囲まれた部分の面積は1。
全体が1だから、中央の横軸0から右へ無限大にいったところで、0.5になる。
正規分布表はどう見ればいい？
横軸をZと呼んでいて、標準正規分布表には、 「Zが0からいくつまでの面積」が書かれている。
表の左端の列がZの小数点第1位までを示していて、 表の上端の行がZの小数点第2位を示している。
Zが1.96のときは、左端で1.9を見つけて、 そのまま右に進み、0.06の列が Zが0から1.96までの面積になる。
表は以下からお借りした。
.4750とあるのは、 0.4750の最初の0が省略されている。
つまり、Zが1.96のときに、 0とはさまれた区間の面積＝割合が 0.475であるということ。
Zがｰ1.96から1.96の間の割合は 0.4750の2倍の0.95になる。
これが統計学でよく出てくる「95%」の由来だ。
正規分布で割合がわかると何がいい？
標準正規分布で使うZは標準化された値と言う。
Z値、Z得点、Zスコア、標準化得点、標準化スコア、など、 さまざまに呼ばれるが、全部同じで、要するに標準化された値。
標準化された値とは何か？
それは、平均と標準偏差によって変換された値。
標準化された値は、正規分布するデータで計算でき、標準正規分布表に当てはめて使う。
例として、男子高校生の身長データで話をする。
標準正規分布を使う正規分布データを用意
身長のデータは正規分布をする。
例えば、平均は約170cm、標準偏差は約5cmとする。
平均を中心に左右均等に裾を引いた釣り鐘型の分布になる。
ヒストグラムにするとこんな感じ。
ヒストグラムを割合にして、 正規分布曲線を重ねると、こんな感じ。
正規分布データを平均と標準偏差を使って標準化する
例えば、
身長180cmの人は、 平均170cm、標準偏差5cmの分布の中で、 上から何パーセントか？
という設問に答えられる。
標準化の方法はすごく簡単。
標準化したい値から平均を引く。 標準偏差で割る。 おわり。
つまり、
ということ。
標準化とは、平均0、標準偏差1にすることを言う。
データ全部に標準化を行うと、 平均を引いているので、平均を取ると0になっている。
もともとの標準偏差が5なら、
ということだ。
標準化した値を使って標準正規分布をどう使うか？
2が180を平均170、標準偏差5で標準化した値。
つまりZ=2。
Zが2のときの、標準正規分布表の数字、 つまり、Z=0からの面積を見てみる。
先ほどの標準正規分布表の左端で、2.0を見つけて、 上端が0のセルを見ると.4772。
知りたいのは180cmは上から何パーセントか？なので、 0から無限大までの合計0.5から0.4772を引いた値で、 0.0228。つまり、2.28パーセント。
背の高いほうから2.5パーセントに入るということは、 180cm以上はまれであると言える。
まとめ
標準正規分布表の見方や使い方を紹介した。
- 標準正規分布表は、「原点の縦軸、横軸、Z値の縦線、曲線」に囲まれた面積が書かれている。
- 横軸0からある値までの面積であり、それは割合である。
- 正規分布上の値を標準化して、標準正規分布上の割合で考える。
いわゆる「テストの点の分布」問題、何点以上の学生が何パーセントいるか、も同じように考えられる。きちんと理解できれば、統計学のテスト問題のうち、必ず一問は正答できる！グッドラック！！
標準正規分布表の見方―あの数字はそもそも何か？どうやって見ればいいのか？【動画】
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curve(dnorm(x), -4, 4, las=1, xlab="Z")
curve(dnorm(x), -4, 4, las=1, xlab="Z") arrows(0,0,0,dnorm(0),length=0) arrows(1,0,1,dnorm(1),length=0) xvalu <- seq(0,1,length=200) dvalu <- dnorm(xvalu) polygon(c(xvalu, rev(xvalu)), c(rep(0,200), rev(dvalu)),col="skyblue")
curve(dnorm(x), -4, 4, las=1, xlab="Z") arrows(0,0,0,dnorm(0),length=0) xvalu <- seq(0,4,length=200) dvalu <- dnorm(xvalu) polygon(c(xvalu, rev(xvalu)), c(rep(0,200), rev(dvalu)),col="palegreen")
curve(dnorm(x), -4, 4, las=1, xlab="Z") xvalu <- seq(qnorm(0.025),qnorm(0.975),length=400) dvalu <- dnorm(xvalu) polygon(c(xvalu, rev(xvalu)), c(rep(0,400), rev(dvalu)),col="#ffff99") arrows(0,0,0,dnorm(0),0) arrows(qnorm(0.975),0,qnorm(0.975),dnorm(qnorm(0.975)),0) arrows(qnorm(0.025),0,qnorm(0.025),dnorm(qnorm(0.025)),0)
height <- rnorm(1000, mean=170, sd=5) hist(height)
hist(height, freq=F, ylim=c(0,0.08)) curve(dnorm(x, mean=170, sd=5), 150, 190, las=1, xlab="Z", xaxp=c(150,190,8), add=T) arrows(170, 0, 170, dnorm(170, mean=170, sd=5), length=0)
curve(dnorm(x, mean=170, sd=5), 150, 190, las=1, xlab="Z", xaxp=c(150,190,8)) xvalu <- seq(180,190,length=100) dvalu <- dnorm(xvalu, mean=170, sd=5) polygon(c(xvalu, rev(xvalu)), c(rep(0,100), rev(dvalu)),col="#ffd1d1") arrows(180, 0, 180, dnorm(180, mean=170, sd=5), length=0) hist(height, freq=F, add=T)
