R で skewness や kurtosis を計算する方法。
平均と標準偏差
統計ソフトRで、平均値は、mean()で算出する。
標準偏差は、sd()で計算する。
sdはstandard deviationの略。
平均値と標準偏差の値の関係で、データの分布を大まかに推測できる。
正規分布をしていれば、平均値に±標準偏差の2倍の範囲に、データの約95％が収まる。
> mean(chickwts$weight) [1] 261.3099 > sd(chickwts$weight) [1] 78.0737
平均を標準偏差で割ってみると約3倍。
だいたい正規分布していると想像する。
> 261.3099/78.0787 [1] 3.34675
ヒストグラムを見てみる。
だいたい正規分布と言ってよい。
中央値（メディアン）
正規分布していないデータの場合、代表値としてはこちらのほうが望ましい。
chickwtsデータフレーム内のweightの中央値は、平均値とほぼ同じで、ほぼ正規分布なので、平均値と中央値がほぼ同じになる。
> median(chickwts$weight) [1] 258 > mean(chickwts$weight) [1] 261.3099
歪度（わいど）Skewness
分布が正規分布から外れてゆがんでいる度合いが歪度だ。
非対称性を表す指標。e1071パッケージに含まれている。
最初一回だけ、e1071パッケージのインストールが必要だ。
install.packages("e1071")
一回のセッションで使い始めの時に一回だけlibrary()で呼び出す。
library(e1071)
歪度を計算する関数はskewness()
例としてx1というデータがあるとする。
x1 <- c(6.0,10.0,7.6,3.5,1.4,2.5,5.6,3.0,2.2,5.0, 3.3,7.6,5.8,6.7,2.8,4.8,6.3,5.3,5.4,3.3, 3.4,3.8,3.3,5.7,6.3,8.4,4.6,2.8,7.9,8.9)
ヒストグラムを見てみると、左右対称ではなくゆがんでいる。
hist(x1)
このとき歪度を計算すると、0.361
> skewness(x1) [1] 0.3614441
ちなみに、先ほど見たほぼ正規分布している chickwts$weightのskewnessも計算してみると、ほぼゼロ。
分布がゆがんでいると数値の絶対値が大きくなる。
> skewness(chickwts$weight) [1] -0.01136593
skewnessは3種類ある。
Type=2を使うのが無難だろう。
> skewness(x1, type=2) [1] 0.4006154
尖度（せんど）Kurtosis
尖度は正規分布と比べて、鋭いピークか鈍いピークかを表す。
> kurtosis(x1) [1] -0.8275311 > kurtosis(chickwts$weight) [1] -0.9651994
尖度はx1とchickwts$weightでは、それほど異ならない。
尖度も3種類ありこれもType=2が無難だ。
正規分布であった場合、偏らないのがType=2だけだ。
> kurtosis(x1, type=2) [1] -0.5726655 > kurtosis(chickwts$weight, type=2) [1] -0.8843778
ランダム変数で試してみる
ここで、正規分布しているランダム変数を作って、試してみよう。
100個と1000個で比べてみる。
x100は100個のランダム変数。
x1000は1000個のランダム変数。
set.seed(20180504) x100 <- rnorm(100) hist(x100)
x1000 <- rnorm(1000) hist(x1000)
> kurtosis(x100, type=2) [1] -0.2333893 > kurtosis(x1000, type=2) [1] -0.002990156
ヒストグラムを見ると、100個より1000個のほうがより正規分布らしい。
尖度は100よりも1000のほうがゼロに近い。
尖度はとがり方がより正規分布に近いかどうかを表す指標だ。
まとめ
通常はデータを眺めてみるときは、平均値と標準偏差でよい。
グラフも大事で、ヒストグラムで分布も見たほうが良い。
ヒストグラムが左右対称の釣り鐘型の分布ではなさそうなら、中央値も確認するとよい。
歪度や尖度は必要に応じて算出する。
